О выборах. Почему демократия не всегда работает как надо. Ч.2. Казус слизевика.

Ну что, поехали дальше. Первая часть здесь:

https://touchytough.blogspot.com/2019/02/1.html

  Маркиз де Кондорсе, первым применил математические методы к общественным наукам. Известный французский философ, математик и политик эпохи Просвещения и Французской революции, он долго бился над проблемой обеспечения непротиворечивого выбора, но так и не смог её решить. В конечном итоге вынужден был признать следующие ограничения:

«Как правило, мы не можем избежать принятий решений такого рода, которые можно было бы назвать неоднозначными, иначе как требуя значительного большинства голосов или позволяя голосовать только людям просвещенным…
Если мы не можем найти достаточно просвещенных избирателей, мы должны избегать плохого выбора, принимая в качестве кандидатов только тех людей, компетентности которых мы можем доверять».

  Я выделил жирным шрифтом ключевые моменты мысли Кондорсе, а последнее предложение просто напрямую касается сегодняшних политических реалий Украины и текущей президентской гонки.
И снова, как и в предыдущей статье, обратимся к книге Джордана Элленберга «Сила математического мышления». К тому месту, где он описывает эксперимент со слизевиком (физарум многоголовый). Это простейшее может существовать как отдельная клетка. Но в определённых условиях тысячи этих клеток объединяются в единый организм под названием плазмодий (ну совсем как политики, политические партии и их ярые сторонники перед выборами, правда? Именно в этой связи я уже как-то писал о кластеризации общества))

Таня Лэтии и Мэдлин Бикман из Сиднейского университета поставили следующий эксперимент.

  Слизевики могут питаться овсяными хлопьями, но избегают ультрафиолета. На одной стороне чашки Петри разместили три грамма овсяных хлопьев, на другой — пять грамм, в последнем случае на хлопья направили ультрафиолетовое излучение. В середину поместили слизевика и стали ждать его реакции. В итоге слизевик выбирал каждый из вариантов примерно в половине случаев: дополнительное количество пищи компенсировало негативный эффект от излучения.

  Когда в кучку с пятью граммами под светом добавили еще пять грамм — баланс нарушился и слизевик всегда перемещался только к ней. Вполне разумный выбор даже для человека, а не то, чтобы одноклеточного).
Дальше интересней. Кто читал предыдущую мою статью по ссылке выше, должен помнить, что я писал о том, что демократия неплохо работает в условиях выбора из двух альтернатив, но появление дополнительных вариантов и усложнение условий выбора может приводить к сбоям в работе системы. Сейчас вы увидите одну из возможных трудностей, а также поймете, почему вопрос обеспечения непротиворечивого выбора оказался настолько непростым, что маркиз де Кондорсе безуспешно ломал над ним голову годами.

  Вернемся к эксперименту со слизевиком. 
  В следующий раз в неосвещенную часть чашки Петри положили дополнительно еще одну кучку: один грамм хлопьев, - т.е. добавилась третья альтернатива. Очевидно, что она заведомо проигрывает предыдущим двум и интуитивно вроде понятно, что никак не должна влиять на выбор. Так вот, как говорят в Одессе: «шоб да, так нет». 

  Для большей наглядности, представим ситуацию, что вы человек, тщательно следящий за своим весом. Вы пришли в магазин и выбираете между вкусным куском торта, который опасен для вашего веса и менее вкусным творожным десертом с заменителем сахара, хотя не настолько привлекательным для вас, как торт, но зато и для веса не особенно вредного. Стоите перед холодильной витриной и не можете определиться. Появление в поле вашего внимания еще одной альтернативы в виде булочки с отрубями, которая «вдохновляет» вас ещё меньше, чем творожный десерт, вроде как никоим образом не может помочь вам сделать выбор. Совсем не факт, как показал эксперимент со слизевиком.

  Вы мне можете возразить, что сравнение человека с простейшим некорректно, на что я могу ответить, что некоторые базовые механизмы, возникшие у живых организмов в ходе эволюции, в том числе для принятия решений, инвариантны по отношению к изменению масштаба. И этому есть подтверждение.
 Вернемся к эксперименту со слизевиком.

 Действительно, слизевика никак не вдохновил вариант с одним граммом хлопьев. Но по какой-то причине вариант «три грамма хлопьев в темноте» он стал выбирать в три раза чаще, чем раньше. Что случилось?
Как пишет Джордан Элленберг:

«На языке математики эта ситуация обозначается термином «независимость от посторонних альтернатив». Этот принцип гласит, что кем бы вы ни были – слизевиком, человеком или демократической страной, – если у вас есть два варианта выбора А и Б, наличие третьего варианта В не должно влиять на то, какой из вариантов А и Б нравится вам больше».

  Дальше он приводит пример одного социального эксперимента со студентами, который подтверждает ту самую инвариантность, о которой я написал чуть выше. И довольно пространно описывает, почему рассматриваемый опыт не подпадает в разряд «независимых от посторонних альтернатив».

  Я попытаюсь это сделать по-своему, гораздо более коротко и наглядно.

  Обозначим вариант с пятью граммами хлопьев на свету: С5. Варианты с тремя и одним граммом в темноте: Т3 и Т1 соответсвенно. Проведем попарное сравнение альтернатив по каждому из критериев: свет и еда. В случае выигрышной альтернативы добавляем ей два балла, проигрышной ноль. В случае «ничьи» ставим обоим вариантам по единице. Помним, что мы каждый раз проводим сравнение по одному и только одному критерию, поэтому в категории «Свет» варианты Т3 и Т1 равны (так как разница в количестве еды по данному критерию значения не имеет). 

Итак. Вначале у нас было две приблизительно равных альтернативы. Это ключевое условие. Когда мы имеем десять граммов хлопьев на свету против трех граммов в тени, то и дилеммы нет, а значит появление заведомо проигрышной третьей альтернативы не влияет на выбор. Именно поэтому в приведенной выше цитате Кондорсе писал  "... мы не можем избежать принятий решений такого рода, которые можно было бы назвать неоднозначными, иначе как требуя значительного большинства голосов".

I. Свет: C5 < T3

II. Еда: C5 > T3

Тут и без подсчетов ясно, что ситуация 50/50.

Добавим третью альтернативу:

I. Свет: C5 < T3 (С5 : 0 баллов, Т3: 2 балла)

             C5 < T1 (С5: 0 баллов, Т1: 2 балла)

             T3 = T1 (Т3: 1 балл, Т1: 1 балл)

II. Еда: C5 > T3 (С5: 2 балла, Т3: 0 баллов)

             C5 > T1 (С5: 2 балла, Т1: 0 баллов)

             T3 > T1 (Т3: 2 балла, Т1: 0 баллов)

Суммируем баллы для каждого из вариантов: С5 = 4 балла, Т3 = 5 баллов, Т1 = 3 балла.

  Как видим, появление третьей альтернативы Т1 изменило первоначальный расклад и вариант Т3 стал однозначно самым привлекательным. На пальцах это можно объяснить тем, что альтернативы Т3 и Т1 напрямую сравнимы по идентичным показателям, и в этом сравнении Т3 однозначно выигрывает. В результате, это повышает её общую привлекательность и влияет на окончательный выбор, как бы это не противоречило нашим интуитивным ожиданиям. В итоге, выбор слизевика с точки зрения математики совсем не выглядит иррациональным.

  Дальше, если будет интересно (а этот интерес будет выражаться в лайках и репостах материала читателями) я спроецирую ситуацию со слизевиком на украинскую политику и расскажу, какой именно вариант голосования считают предпочтительным сами математики и какое отношение это имеет к Ватикану.